ハチのつぶやき

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【高校生】数学〈集合について〉

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今日は、集合とその種類と使い方について調べてみました。

 

<集合とは>

ある条件を満たすものの全体の集まりのことを言い、集合をつくっている個々のものを集合の要素といいます。

 

aが集合Aの要素であるとき、

 aは集合Aに「属する」といいます。a∈Aと表せます。

 

また、bがAの要素ではないことをb∈Aの「∈」に斜線を引いて表します。集合を表すには、要素を書き並べて表すか、要素の条件を書いて表します。

 

例:12の正の約数全体の集合A

  • A={1,2,3,4,6,12}   ←要素を書き並べる場合
  • A={x|xは12の正の約数}   ←要素の条件を書く場合

 

「条件を書く方」はあまり使いませんが、入試レベルになると使う機会が増えます。

※左のxは要素を代表する文字。線の右には条件を書く。

 

<集合の種類>

部分集合

集合Aのすべての要素が集合Bの要素になっているとき、AをBの部分集合といいます。
A⊂BまたはB⊃Aで表すことができます。

 

このとき、AはBに「含まれる」、BはAを「含む」といいます。ベン図を書くと、Bの円の枠の中にAの円が入っている状態になります。

 

共通部分

集合AとBのどちらにも属する要素全体の集合をAとBの共通部分といい、A∩Bで表します。ベン図を書くと、AとBの円が少し重なるようにした図のその重なっている部分を表しています。

 

和集合

集合AとBの少なくともどちらか一方に属する要素全体の集合をAとBの和集合といい、
A∪Bで表します。ベン図を書くと、少し重なるAとBの円の図の全体を表しています。

 

空集合

一方で、要素をもたない集合を空集合といい、記号∅で表します。

※ベン図…全体集合を四角形で表し、その中に部分集合を円で表した図のこと。